De stelling van Moivre over wat bestaat, demonstratie en opgeloste oefeningen

de Moivre's stelling past fundamentele processen van algebra toe, zoals krachten en de extractie van wortels in complexe getallen. De stelling werd geformuleerd door de beroemde Franse wiskundige Abraham de Moivre (1730), die complexe getallen associeerde met trigonometrie.

Abraham Moivre maakte deze associatie door de uitdrukkingen van de borst en de cosinus. Deze wiskundige genereerde een soort formule waardoor het mogelijk is om een ​​complex getal z te verhogen tot het vermogen n, wat een positief geheel getal groter dan of gelijk aan 1 is.

index

• 1 Wat is de Moivre-stelling??
• 2 Demonstratie
  • 2.1 Inductieve basis
  • 2.2 Inductieve hypothese
  • 2.3 Controleren
  • 2.4 Negatief geheel getal
• 3 Oefeningen opgelost
  • 3.1 Berekening van positieve krachten
  • 3.2 Berekening van negatieve krachten
• 4 Referenties

Wat is de Moivre-stelling??

Moivre's stelling stelt het volgende:

Als je een complex getal hebt in de polaire vorm z = r_ɵ, waar r de module van het complexe getal z is, en de hoek Ɵ de amplitude of het argument van een complex getal met 0 ≤ Ɵ ≤ 2π wordt genoemd, om het n-de vermogen te berekenen, hoeft het n-maal niet zelf te worden vermenigvuldigd; dat wil zeggen, het is niet nodig om het volgende product te maken:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *} r_ɵ   n-voudig.

Integendeel, de stelling zegt dat wanneer we z in zijn trigonometrische vorm schrijven om de n-de macht te berekenen, we als volgt te werk gaan:

Als z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) en dan zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Bijvoorbeeld, als n = 2, dan is z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Als je die n = 3 hebt, dan is z³ = z² _* z. Bovendien:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Op deze manier kunnen de trigonometrische verhoudingen van de sinus en cosinus worden verkregen voor veelvouden van een hoek, zolang de trigonometrische verhoudingen van de hoek bekend zijn..

Op dezelfde manier kan het worden gebruikt om meer precieze en minder verwarrende expressies te vinden voor de n-de wortel van een complex getal z, zodat zⁿ = 1.

Om de stelling van Moivre te demonstreren, wordt het principe van wiskundige inductie gebruikt: als een geheel getal "a" een eigenschap "P" heeft en als voor een geheel getal "n" groter dan "a" dat de eigenschap "P" heeft, is het voldoet aan dat n + 1 ook de eigenschap "P" heeft, dan hebben alle gehele getallen groter dan of gelijk aan "a" de eigenschap "P".

tonen

Op deze manier wordt het bewijs van de stelling gedaan met de volgende stappen:

Inductieve basis

Controleer eerst op n = 1.

Zoals z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], we hebben dat voor n = 1 de stelling is vervuld.

Inductieve hypothese

Er wordt aangenomen dat de formule waar is voor een positief geheel getal, dat wil zeggen n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

testing

Het is bewezen dat het waar is voor n = k + 1.

Zoals z^{k + 1}= z^k _* z, dan z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Vervolgens vermenigvuldigen de uitdrukkingen:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Even wordt de r-factor genegeerd^{k + 1},  en gemeenschappelijke factor i is verwijderd:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(SenƟ).

Hoe ik² = -1, we vervangen het in de expressie en we krijgen:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(SenƟ).

Nu zijn het echte en het imaginaire gedeelte besteld:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(SenƟ)].

Om de uitdrukking te vereenvoudigen, worden de trigonometrische identiteiten van de som van hoeken voor de cosinus en sinus toegepast, die zijn:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = zonde A _* cos B - cos A _* cos B.

In dit geval zijn de variabelen de hoeken Ɵ en kƟ. We hebben de volgende trigonometrische identiteiten:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Op deze manier blijft de uitdrukking:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Zo kon worden aangetoond dat het resultaat geldt voor n = k + 1. Volgens het principe van wiskundige inductie wordt geconcludeerd dat het resultaat geldt voor alle positieve gehele getallen; dat is n ≥ 1.

Geheel negatief

Moivre's stelling wordt ook toegepast wanneer n ≤ 0. Overweeg een negatief geheel getal "n"; dan kan "n" worden geschreven als "-m", dat wil zeggen, n = -m, waarbij "m" een positief geheel getal is. daarom:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Om de exponent "m" op een positieve manier te verkrijgen, wordt de uitdrukking omgekeerd geschreven:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Nu wordt gebruikt dat als z = a + b * i een complex getal is, dan 1 ÷ z = a-b * i. daarom:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Met cos (x) = cos (-x) en dat -sen (x) = sin (-x), moeten we:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Op die manier kunnen we zeggen dat de stelling van toepassing is op alle integerwaarden van "n".

Opgeloste oefeningen

Berekening van positieve krachten

Een van de operaties met complexe getallen in zijn polaire vorm is de vermenigvuldiging tussen twee van deze; in dat geval worden de modules vermenigvuldigd en de argumenten toegevoegd.

Als u twee complexe getallen hebt z₁ en z₂ en je wilt berekenen (z₁* z₂)², Dan gaan we als volgt te werk:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + ik _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + ik _* sen Ɵ₂)]

De distributieve eigenschap wordt toegepast:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + ik _* cos Ɵ_{1 *} ik _* sen Ɵ₂ + ik _* sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + ik²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

Ze zijn gegroepeerd, waarbij de term 'i' wordt gebruikt als een gemeenschappelijke uitdrukkingsfactor:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Hoe ik² = -1, wordt vervangen in de expressie:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

De echte termen zijn gegroepeerd met echt, en denkbeeldig met imaginair:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

Ten slotte worden de trigonometrische eigenschappen toegepast:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)].

Tot slot:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂)].

Oefening 1

Schrijf het complexe getal in polaire vorm als z = - 2 -2i. Gebruik dan de stelling van Moivre en bereken z⁴.

oplossing

Het complexe getal z = -2 -2i wordt uitgedrukt in de rechthoekige vorm z = a + bi, waarbij:

a = -2.

b = -2.

Wetende dat de polaire vorm z = r is (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), moet u de waarde van de "r" -module en de waarde van het "Ɵ" -argument bepalen. Als r = √ (a² + b²) worden de gegeven waarden vervangen:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Om vervolgens de waarde van "Ɵ" te bepalen, wordt de rechthoekige vorm hiervan toegepast, die wordt gegeven door de formule:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Als de tan (Ɵ) = 1 en je moet<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Omdat de waarde van "r" en "Ɵ" al was verkregen, kan het complexe getal z = -2 -2i in de polaire vorm worden uitgedrukt door de waarden te vervangen:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Nu wordt de Moivre-stelling gebruikt om z te berekenen⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Oefening 2

Zoek het product van de complexe getallen door het in zijn polaire vorm uit te drukken:

z1 = 4 (cos 50^of + ik_* 50 sen^of)

z2 = 7 (cos 100^of + ik_* 100 sen^of).

Bereken vervolgens (z1 * z2) ².

oplossing

Eerst wordt het product van de gegeven nummers gevormd:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^of + ik_* 50 sen^of)] * [7 (cos 100^of + ik_* 100 sen^of)]

Vermenigvuldig vervolgens de modules en voeg de argumenten toe:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^of + 100^of) + i_* sen (50^of + 100^of)]

De uitdrukking is vereenvoudigd:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^of + (i_* 150 sen^of).

Ten slotte wordt de Moivre-stelling toegepast:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^of + (i_* 150 sen^of)) ² = 784 (cos 300)^of + (i_* 300 sen^of)).

Berekening van negatieve krachten

Om twee complexe getallen te delen z₁ en z₂ in zijn polaire vorm is de module verdeeld en worden de argumenten afgetrokken. Het quotiënt is dus z₁ ÷ z₂ en het wordt als volgt uitgedrukt:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - ɵ₂)]).

Net als in het vorige geval, als u (z1 ÷ z2) ³ wilt berekenen, wordt eerst de deling gemaakt en vervolgens wordt de Moivre-stelling gebruikt.

Oefening 3

gegeven:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

bereken (z1 ÷ z2) ³.

oplossing

Volgend op de hierboven beschreven stappen, kan worden geconcludeerd dat:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

referenties

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Uit de stelling van Moivre voor Trig-identiteiten. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, W.L. (1972). Algebra en trigonometrie.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Lineaire algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus. Pearson Education.