Delen:
Stelling van Thales van Miletus First, Second en Examples
De eerste en de tweede Stelling van Thales van Miletus ze zijn gebaseerd op het bepalen van driehoeken van andere soortgelijke (eerste stelling) of omtrekken (tweede stelling). Ze zijn erg nuttig geweest op verschillende gebieden. De eerste stelling bleek bijvoorbeeld erg nuttig voor het meten van grote structuren wanneer er geen geavanceerde meetinstrumenten waren.
Thales van Miletus was een Griekse wiskundige die een grote bijdrage leverde aan de geometrie, waarvan deze twee stellingen opvallen (in sommige teksten schrijven ze het ook als Thales) en hun nuttige toepassingen. Deze resultaten zijn in de loop van de geschiedenis gebruikt en hebben het mogelijk gemaakt om een breed scala aan geometrische problemen op te lossen.
index
- 1 Eerste stelling van Tales
- 1.1 Toepassing
- 1.2 Voorbeelden
- 2 Tweede stelling van Tales
- 2.1 Toepassing
- 2.2 Voorbeeld
- 3 referenties
Eerste stelling van Tales
De eerste stelling van Tales is een zeer nuttige tool die, onder andere, het mogelijk maakt om een driehoek te bouwen die lijkt op een andere, eerder bekende driehoek. Hieruit ontlenen verschillende versies van de stelling die in meerdere contexten kunnen worden toegepast.
Houd rekening met enkele noties van gelijkenis van driehoeken voordat u uw verklaring geeft. In wezen zijn twee driehoeken vergelijkbaar als hun hoeken congruent zijn (ze hebben dezelfde maat). Dit geeft aanleiding tot het feit dat, als twee driehoeken vergelijkbaar zijn, hun overeenkomstige zijden (of homologen) proportioneel zijn.
De eerste stelling van Thales stelt dat als in een gegeven driehoek een rechte lijn evenwijdig aan een van zijn zijden wordt getrokken, de nieuwe verkregen driehoek gelijk zal zijn aan de initiële driehoek.
Je krijgt ook een relatie tussen de hoeken die worden gevormd, zoals te zien in de volgende afbeelding.
toepassing
Onder de vele toepassingen wijst op een bijzonder belang en heeft te maken met een van de manieren waarop metingen van grote structuren werden gemaakt in de oudheid, de tijd waarin hij leefde Tales en waar niet op gerekend moderne meetapparatuur ze bestaan nu.
Er wordt gezegd dat dit de manier was waarop Thales de hoogste piramide in Egypte, Cheops, kon meten. Hiervoor veronderstelde Thales dat de reflecties van de zonnestralen de grond raakten en parallelle lijnen vormden. Onder deze veronderstelling stak hij een stok of stok verticaal in de grond.
Vervolgens gebruikte hij de gelijkenis van de twee resulterende driehoeken, een gevormd door de lengte van de schaduw van de piramide (die gemakkelijk kan worden berekend) en de hoogte van de piramide (de onbekende), en de andere gevormd door de lengte van de schaduw en de hoogte van de staaf (die ook gemakkelijk kan worden berekend).
Gebruik evenredigheid tussen deze lengtes, kan duidelijk worden en kennen de hoogte van de piramide.
Hoewel deze meetmethode een fout significant aanpak kan gooien met betrekking tot de juistheid van de hoogte en is afhankelijk van de parallelliteit van zonnestralen (die op zijn beurt afhangt van een nauwkeurige tijd), moeten we erkennen dat het een zeer slim idee en dat was voor die tijd een goed meetalternatief.
Voorbeelden
Zoek de waarde van x in elk geval:
oplossing
Hier hebben we twee lijnen gesneden door twee parallelle lijnen. Volgens de eerste stelling van Thales is hun respectieve zijde evenredig. In het bijzonder:
oplossing
Hier hebben we twee driehoeken, waarvan er een wordt gevormd door een segment evenwijdig aan een van de zijden van de ander (precies de zijde van lengte x). Bij de eerste stelling van Tales moet je:
Tweede stelling van Tales
De tweede stelling van Thales bepaalt een rechthoekige driehoek die is ingeschreven op een omtrek in elk punt van dezelfde.
Een driehoek die op een omtrek is gegraveerd, is een driehoek waarvan de hoekpunten op de omtrek staan en dus in deze driehoek zijn opgenomen.
Concreet stelt de tweede stelling van Thales het volgende: gegeven een cirkel van middelpunt O en diameter AC, bepaalt elk punt B van de omtrek (anders dan A en C) een rechthoekige driehoek ABC, met een rechte hoek Ter motivering, houd er rekening mee dat zowel OA als OB en OC overeenkomen met de straal van de omtrek; daarom zijn hun metingen hetzelfde. Van daaruit is verkregen dat de driehoeken OAB en OCB gelijkbenig zijn, waar Het is bekend dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan 180º. Gebruikend dit met driehoek ABC moet u: 2b + 2a = 180º. Evenzo hebben we dat b + a = 90º en b + a = Merk op dat de rechter driehoek geleverd door de tweede stelling van Thales precies die is waarvan de hypotenusa gelijk is aan de diameter van de omtrek. Daarom wordt het volledig bepaald door de halve cirkel die de punten van de driehoek bevat; in dit geval de bovenste halve cirkel. Merk ook op dat in de rechter driehoek verkregen door middel van Thales tweede stelling, de schuine zijde is verdeeld in twee gelijke delen door OA en OC (de straal). Deze maat is op zijn beurt gelijk aan het segment OB (ook de straal), wat overeenkomt met de mediaan van de driehoek ABC door B. Met andere woorden, de lengte van de mediaan van de rechthoekige driehoek ABC die overeenkomt met de vertex B wordt volledig bepaald door de helft van de hypotenusa. Bedenk dat de mediaan van een driehoek het segment is van een van de hoekpunten tot het middelpunt van de andere kant; in dit geval het BO-segment. Een andere manier om de tweede stelling van Thales te zien is door een cirkel omgeschreven in een rechthoekige driehoek. Over het algemeen bestaat een cirkel die wordt gedefinieerd door een polygoon uit de omtrek die door elk van de hoekpunten loopt, telkens wanneer deze kan worden gevolgd. Ik gebruik de tweede stelling dergelijke voorzien van een rechthoekige driehoek, kunnen we altijd een omgeschreven construeren hiervan met een straal gelijk aan de helft van de hypotenusa en circumcenter (het middelpunt van de cirkel) als middelpunt van de hypotenusa. Een zeer belangrijke toepassing van de tweede stelling van Tales, en misschien wel de meest gebruikte, is het vinden van de raaklijnen aan een gegeven omtrek, door een punt P buiten dit (bekend). Merk op dat, gegeven een omtrek (in de figuur hieronder in blauw getekend) en een uitwendig punt P, er twee lijnen zijn die de omtrek raken die door P gaat. Laat T en T 'de raakpunten zijn, r de straal van de omtrek en Of het centrum. Het is bekend dat het segment dat van het midden van een cirkel naar een raakpunt ervan gaat, loodrecht op deze raaklijn staat. Dan is de OTP-hoek recht. Uit wat we eerder in de eerste stelling van Thales en zijn verschillende versies zagen, zien we dat het mogelijk is om de OTP-driehoek in een andere omtrek (in rood) in te schrijven. Analoog wordt verkregen dat de OT'P-driehoek kan worden ingeschreven binnen dezelfde voorgaande omtrek. Voor de tweede toevoeging stelling Dergelijke krijgen we de nieuwe cirkeldiameter is juist de schuine zijde OTP (gelijk aan de hypotenusa van de driehoek OT'P is) en het middelpunt het middelpunt van de hypotenusa. Om het midden van de nieuwe omtrek te berekenen, is het dan voldoende om het middelpunt te berekenen tussen het middelpunt - zeg M - van de initiële cirkelomtrek (die we al kennen) en het punt P (dat we ook kennen). Dan is de straal de afstand tussen dit punt M en P. Met de straal en het midden van de rode cirkel kunnen we de Cartesiaanse vergelijking vinden, die we onthouden wordt gegeven door (x-h)2 + (Y-k)2 = c2, waar c de straal is en het punt (h, k) het middelpunt van de cirkel is. Nu we de vergelijkingen van beide omtrekken kennen, kunnen we ze doorsnijden door het stelsel van vergelijkingen dat deze vormen vormen op te lossen en zo de raakpunten T en T 'te verkrijgen. Tenslotte, om de gewenste raaklijnen te kennen, is het voldoende om de vergelijking te vinden van de rechte lijnen die door T en P gaan, en door T 'en P. Overweeg een omtrek van diameter AC, centrum O en straal van 1 cm. Laat B een punt op de omtrek zijn, zodat AB = AC. Hoeveel kost AB?? Door de tweede stelling van Thales hebben we dat de driehoek ABC een rechthoek is en de hypotenusa overeenkomt met de diameter, die in dit geval 2 cm meet (de straal is 1 cm). Vervolgens moeten we volgens de stelling van Pythagoras:
Omgeschreven omtrek
toepassing
voorbeeld
oplossing
referenties