Stellingen van Varignon en opgeloste oefeningen



de De stelling van Varignon stelt vast dat als er in een vierhoek continu punten aan de zijkanten worden verbonden, er een parallellogram wordt gegenereerd. Deze stelling werd geformuleerd door Pierre Varignon en gepubliceerd in 1731 in het boek Elementen van de wiskunde".

De publicatie van het boek vond plaats jaren na zijn dood. Aangezien Varignon degene was die deze stelling presenteerde, is het parallellogram naar hem vernoemd. De stelling is gebaseerd op de Euclidische meetkunde en presenteert geometrische relaties van vierhoeken.

index

  • 1 Wat is de stelling van Varignon??
  • 2 voorbeelden
    • 2.1 Eerste voorbeeld
    • 2.2 Tweede voorbeeld
  • 3 Oefeningen opgelost
    • 3.1 Oefening 1
    • 3.2 Oefening 2
    • 3.3 Oefening 3
  • 4 Referenties

Wat is de stelling van Varignon??

Genoemde Varignon een figuur wordt gedefinieerd door de middelpunten van een vierhoek altijd tot een parallellogram, en dit gebied is altijd helft van de oppervlakte van de vierhoek als vlak en convex. Bijvoorbeeld:

In de figuur kunnen we een vierhoek zien met een gebied X, waar de middelpunten van de zijden worden voorgesteld door E, F, G en H en, wanneer ze worden samengevoegd, een parallellogram vormen. Het gebied van de vierhoek is de som van de gebieden van de driehoeken die worden gevormd, en de helft hiervan komt overeen met het gebied van het parallellogram.

Omdat het gebied van het parallellogram de helft van het gebied van de vierhoek is, kan de omtrek van dat parallellogram worden bepaald.

De omtrek is dus gelijk aan de som van de lengten van de diagonalen van de vierhoek; dit komt omdat de mediaan van de vierhoek de diagonalen van het parallellogram zal zijn.

Aan de andere kant, als de lengtes van de diagonalen van de vierhoek exact hetzelfde zijn, zal het parallellogram een ​​diamant zijn. Bijvoorbeeld:

Uit de figuur is te zien dat, door zich aan te sluiten bij de middelpunten van de zijden van de vierhoek, een ruit wordt verkregen. Aan de andere kant, als de diagonalen van de vierhoek loodrecht zijn, zal het parallellogram een ​​rechthoek zijn.

Ook zal het parallellogram een ​​vierkant zijn wanneer de vierhoek de diagonalen heeft met dezelfde lengte en ook loodrecht is.

De stelling wordt niet alleen vervuld in vlakke vierhoeken, het wordt ook geïmplementeerd in ruimtelijke geometrie of in grote dimensies; dat wil zeggen, in die vierhoeken die niet convex zijn. Een voorbeeld hiervan kan een octaëder zijn, waarbij de middelpunten de centroïden van elk gezicht zijn en een parallellepipedum vormen.

Op deze manier kunnen parallellogrammen worden verkregen door deel te nemen aan de middelpunten van verschillende figuren. Een eenvoudige manier om te controleren of dit echt waar is, is dat de tegenoverliggende zijden parallel moeten zijn wanneer ze worden verlengd.

Voorbeelden

Eerste voorbeeld

Verlenging van de tegenovergestelde zijden om aan te tonen dat het een parallellogram is:

Tweede voorbeeld

Door deel te nemen aan de middelpunten van een diamant, verkrijgen we een rechthoek:

Stelling wordt gebruikt bij de verbinding van de punten in het midden van de zijden van een vierhoek, en kan ook voor andere plaatsen, zoals bij resectie, penta-sectie of zelfs oneindig aantal secties ( nde), om de zijden van een vierhoek te verdelen in proportionele segmenten.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

We hebben in de figuur een vierzijdige ABCD van gebied Z, waar de middelpunten van de zijkanten hiervan PQSR zijn. Controleer of er een parallellogram van Varignon is gevormd.

oplossing

Er kan worden vastgesteld dat bij het samenvoegen van de PQSR-punten een parallellogram van Varignon wordt gevormd, juist omdat in de verklaring de middelpunten van een vierhoek worden gegeven.

Om dit te demonstreren, zijn de middelpunten PQSR verenigd, zodat kan worden gezien dat een andere vierhoek wordt gevormd. Om aan te geven dat het een parallellogram is, hoef je alleen maar een rechte lijn te trekken van punt C naar punt A, zodat je kunt zien dat CA parallel is aan PQ en RS.

Evenzo kan door het verlengen van de PQRS-zijden worden opgemerkt dat PQ en RS parallel zijn, zoals weergegeven in de volgende afbeelding:

Oefening 2

Het heeft een rechthoek zodat de lengtes van alle zijden gelijk zijn. Bij het samenvoegen van de middelpunten van deze zijden, wordt een ruit ABCD gevormd, die wordt gedeeld door twee diagonalen AC = 7 cm en BD = 10 cm, die samenvallen met de afmetingen van de zijden van de rechthoek. Bepaal de gebieden met diamant en rechthoek.

oplossing

Denk eraan dat het gebied van het resulterende parallellogram de helft van de vierhoek is, u kunt het gebied van deze weten, wetende dat de maat van de diagonalen samenvalt met de zijden van de rechthoek. Dus je moet:

AB = D

CD = d

Eenrechthoek = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Eenruit = A rechthoek / 2

Eenruit = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Oefening 3

We hebben in de figuur een vierhoek die de unie van de EFGH-punten heeft, de lengten van de segmenten worden gegeven. Bepaal of de vereniging van EFGH een parallellogram is.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

oplossing

Gezien de lengte van de segmenten, is het mogelijk om te controleren of er evenredigheid is tussen de segmenten; dat wil zeggen, we kunnen weten of deze parallel zijn en de segmenten van de vierhoek op de volgende manier relateren:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Vervolgens wordt de evenredigheid gecontroleerd, aangezien:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Op dezelfde manier kunnen we bij het plotten van een lijn van punt B naar punt D zien dat EH parallel is aan BD, net zoals BD parallel is aan FG. Aan de andere kant is EF parallel aan GH.

Op deze manier kan worden vastgesteld dat EFGH een parallellogram is, omdat de tegenovergestelde zijden parallel zijn.

referenties

  1. Andres, T. (2010). Wiskundige Olympiade Tresure. Springer. New York.
  2. Barbosa, J.L. (2006). Vlakke Euclidische geometrie. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Studie van geometrieën. Mexico: Spaans - Amerikaans.
  4. Ramo, G.P. (1998). Onbekende oplossingen voor de problemen van Fermat-Torricelli. ISBN - Zelfstandig werk.
  5. Vera, F. (1943). Elements of Geometry. Bogotá.
  6. Villiers, M. (1996). Sommige avonturen in Euclidean Geometry. Zuid-Afrika.