Binomiale theoriedemonstratie en voorbeelden

de binomiale stelling is een vergelijking die ons vertelt hoe we een uitdrukking van de vorm kunnen ontwikkelen (a + b)ⁿ voor een natuurlijk nummer n. Een binomiaal is niet meer dan de som van twee elementen, zoals (a + b). Het stelt ons ook in staat om te weten voor een termijn gegeven door een^kb^n-k wat is de coëfficiënt die daarbij hoort.

Deze stelling wordt vaak toegeschreven aan de Engelse uitvinder, fysicus en wiskundige Sir Isaac Newton; Er zijn echter verschillende records gevonden die erop wijzen dat het bestaan ​​in het Midden-Oosten al rond het jaar 1000 bekend was.

index

• 1 combinatorische nummers
• 2 Demonstratie
• 3 voorbeelden
  • 3.1 Identiteit 1
  • 3.2 Identiteit 2
• 4 Nog een demonstratie
  • 4.1 Demonstratie door inductie
• 5 curiosa
• 6 Referenties

Combinatorische nummers

De binomiale stelling vertelt ons wiskundig het volgende:

In deze uitdrukking zijn a en b reële getallen en n een natuurlijk getal.

Voordat we de demonstratie geven, laten we enkele basisbegrippen bekijken die nodig zijn.

Het combinatorische aantal of combinaties van n in k wordt als volgt uitgedrukt:

Deze vorm drukt de waarde uit van hoeveel subsets met k-elementen kunnen worden gekozen uit een set van n elementen. De algebraïsche expressie wordt gegeven door:

Laten we een voorbeeld bekijken: stel dat we een groep van zeven ballen hebben, waarvan er twee rood zijn en de rest blauw.

We willen weten hoeveel manieren we ze op een rij kunnen bestellen. Een manier zou kunnen zijn om de twee rode in de eerste en tweede positie te plaatsen, en de rest van de ballen in de resterende posities.

Net als bij het vorige geval, konden we de rode ballen respectievelijk de eerste en de laatste positie geven en de anderen bezetten met blauwe ballen.

Nu, een effectieve manier om te tellen hoeveel manieren we de ballen op een rij kunnen bestellen, is het gebruik van de combinatorische getallen. We kunnen elke positie als een element van de volgende reeks zien:

Vervolgens is het alleen nodig om een ​​subset van twee elementen te kiezen, waarbij elk van deze elementen de positie vertegenwoordigt die de rode ballen zullen innemen. We kunnen deze keuze maken op basis van de relatie die wordt gegeven door:

Op deze manier hebben we 21 manieren om dergelijke ballen te sorteren.

Het algemene idee van dit voorbeeld zal zeer nuttig zijn bij het aantonen van de binomiale stelling. Laten we naar een specifiek geval kijken: als n = 4, hebben we (a + b)⁴, wat niets meer is dan:

Wanneer we dit product ontwikkelen, hebben we de som van de termen die worden verkregen door een element van elk van de vier factoren te vermenigvuldigen (a + b). Dus zullen we termen hebben die van de vorm zijn:

Als we de term van het formulier wilden krijgen⁴, vermenigvuldig gewoon op de volgende manier:

Merk op dat er maar één manier is om dit element te verkrijgen; maar wat gebeurt er als we nu kijken naar de term van de vorm²b²? Aangezien "a" en "b" reële getallen zijn en daarom de commutatiewet geldig is, hebben we een manier om deze term te verkrijgen, zich vermenigvuldigen met de leden zoals aangegeven door de pijlen.

Het uitvoeren van al deze bewerkingen is meestal enigszins vervelend, maar als we de term 'a' zien als een combinatie waarin we willen weten op hoeveel manieren we twee 'a' uit een reeks van vier factoren kunnen kiezen, kunnen we het idee van het vorige voorbeeld gebruiken. Dus we hebben het volgende:

Dus we weten dat in de uiteindelijke ontwikkeling van de uitdrukking (a + b)⁴ we zullen precies 6a hebben²b². Gebruik hetzelfde idee voor de andere elementen, je moet:

Vervolgens voegen we de eerder verkregen expressies toe en moeten we:

Het is een formele demonstratie voor het algemene geval waarin "n" een natuurlijk getal is.

tonen

Merk op dat de termen die overblijven bij het ontwikkelen (a + b)ⁿ zijn van de vorm naar^kb^n-k, waarbij k = 0,1, ..., n. Gebruikmakend van het idee van het vorige voorbeeld, hebben we de manier om "k" variabelen "a" uit de "n" factoren te kiezen:

Door op deze manier te kiezen, kiezen we automatisch voor n-k variabelen "b". Hieruit volgt dat:

Voorbeelden

Overwegend (a + b)⁵, Wat zou zijn ontwikkeling zijn?

Volgens de binomiale stelling moeten we:

De binomiale stelling is erg handig als we een uitdrukking hebben waarin we willen weten wat de coëfficiënt van een specifieke term is zonder de volledige ontwikkeling uit te voeren. Als voorbeeld kunnen we de volgende vraag stellen: wat is de coëfficiënt van x⁷en⁹ in de ontwikkeling van (x + y)¹⁶?

Door de binomiale stelling hebben we dat de coëfficiënt is:

Een ander voorbeeld zou zijn: wat is de coëfficiënt van x⁵en⁸ in de ontwikkeling van (3x-7y)¹³?

Eerst herschrijven we de uitdrukking op een handige manier; dit is:

Vervolgens, met behulp van de binomiale stelling, hebben we dat de gewenste coëfficiënt is wanneer we k = 5 hebben

Een ander voorbeeld van het gebruik van deze stelling is de demonstratie van enkele gemeenschappelijke identiteiten, zoals die hieronder worden genoemd.

Identiteit 1

Als "n" een natuurlijk getal is, moeten we:

Voor de demonstratie gebruiken we de binomiale stelling, waarbij zowel "a" als "b" de waarde 1 hebben. Dan hebben we:

Op deze manier hebben we de eerste identiteit bewezen.

Identiteit 2

Als "n" een natuurlijk getal is, dan

Volgens de binomiale stelling moeten we:

Nog een demonstratie

We kunnen een andere demonstratie maken voor de binomiale stelling met behulp van de inductieve methode en de pascal-identiteit, die ons vertelt dat als "n" en "k" positieve gehele getallen zijn die aan n ≥ k voldoen, dan:

Demonstratie door inductie

Laten we eerst zien dat de inductieve basis is vervuld. Als n = 1, moeten we:

Inderdaad, we zien dat het is vervuld. Nu, laat n = j zodat het is vervuld:

We willen zien dat voor n = j + 1 is voldaan aan het volgende:

Dus we moeten:

Per hypothese weten we dat:

Vervolgens, met behulp van de distributieve eigenschap:

Vervolgens, het ontwikkelen van elk van de sommaties die we hebben:

Als we op een gemakkelijke manier samen groeperen, moeten we:

Gebruikmakend van de identiteit van pascal, moeten we:

Merk tot slot op:

Daarom zien we dat de binomiale stelling vervuld is voor alle "n" behorend tot het natuurlijke getal, en daarmee eindigt de test.

curiositeiten

Het combinatorische getal (nk) wordt ook wel de binomiale coëfficiënt genoemd omdat het precies de coëfficiënt is die wordt weergegeven in de ontwikkeling van de binomiaal (a + b)ⁿ.

Isaac Newton gaf een generalisatie van deze stelling voor het geval waarin de exponent een reëel getal is; deze stelling staat bekend als de binomiale stelling van Newton.

Al in de oudheid was dit resultaat bekend voor het specifieke geval waarin n = 2. Deze zaak wordt genoemd in de elementen van Euclides.

referenties

1. Johnsonbaugh Richard. Discrete wiskunde PHH
2. Kenneth.H. Rosen, discrete wiskunde en zijn toepassingen. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Discrete wiskunde. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Discrete en gecombineerde wiskunde. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Discrete wiskunde en combinatoria. Antropos